বিসিএস প্রিলি+রিটেন প্রস্তুতি
গাণিতিক যুক্তি-( ১১. বিন্যাস সমাবেশ, সম্ভাব্যতা)।
#বিন্যাস-সমাবেশের মধ্যে বেসিক পার্থক্য আগে বুঝে নিনঃ
#আপনারা কি জানেন ,বিন্যাস সমাবেশের মূল পার্থক্য কি?
সবাই কমন সংজ্ঞা দেয় যে,বিন্যাস হল সাজানো
আর সমাবেশ হল দল গঠন।
কথাটির অন্তর্নিহিত অর্থটা কি?
অর্থ হল এই যে বিন্যাস সংখ্যা বের করতে হলে দল তো গঠন করবই,সাথে সেদলের সদস্যদের কতরকম ভাবে
সাজানো যায়,সেটাও নির্ণয় করব।
#আর সমাবেশ হল শুধুই দল গঠন করে রেখে দেয়া,সেই দলের সদস্যদের সাজাতে হবেনা।
#বিন্যাসের সূত্রসমূহঃ
1. nPr or P(n,r) = n! /(n-r)!
2 . nPr = nCr x r!
১. 10টি বস্তু থেকে 5টি নিয়ে কয়ভাবে সাজানো যায়?
এটাতো বিন্যাসের অংক,তাই না? এ ব্যাপারে সন্দেহ নেই। কিন্তু করি সমাবেশ দিয়ে। সমাবেশ মানে দল গঠন।দল গঠন করা হোক।10টি থেকে 5টি নিয়ে দল
গঠন করার উপায় 10C5.
এবার সেই দলের সদস্যদের সাজানো হোক। দলের সদস্য 5 জন।
5 জনকে সাজানোর উপায় 5!
অতএব,নির্ণয় বিন্যাস সংখ্যা = 10C5x5!
= 30240.
অর্থাৎ nPr = nCr x r!
#Clear note of Permutation(বিন্যাস)ঃ
বিন্যাস কথাটির সাধারণ অর্থ “সাজানো । কয়েকটি জিনিস থেকে কিছু সংখ্যক জিনিস নিয়ে বা সবকয়টি জিনিস একত্রে নিয়ে বিভিন্ন প্রকারে সাজালে, এক এক প্রকার সাজানো কে একটি বিন্যাস বলে।
উদাহরণ: a, b, c তিনটি অক্ষর হতে প্রতিবার একটি করে নিয়ে সাজালে a, b, cএই তিনটি উপায়ে সাজানো যায় এবং এর এক একটিকে বিন্যাস বলে ।
আবার দু’টি করে নিলে ab, bc, ca, ac, cb, ba, এই ছয় উপায়ে সাজানো যায় এবং এদের এক একটিকে বিন্যাস বলে। সবগুলোকে নিয়ে সাজালে abc, acb, cab, cba, bac, bca এই ছয়টি উপায়ে সাজানো যায় এবং এ ধরনের সাজানোর এক একটিকে বিন্যাস বলে।
#বিন্যাস মানেও দল গঠন,তবে গঠনের পর তাদের
সাজানো!
#বিন্যাসের কিছু নিয়মাবলি (Some Rules)ঃ
#RULE-01ঃ
n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে সাজানোর উপায় সংখ্যা P(n,r)= nPr=n!/(n-r)!
1. Cautions শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে 4টি নিয়ে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন শব্দ তৈরী করা সম্ভব?
ক) 1680
খ)1670
গ)1640
ঘ) 16460
উত্তরঃ ক
8P4 = 1680
[নোটঃ অনেকের এই প্রবণতা আছে যে 'প্রতিবারে' শব্দটি দেখলেই সমাবেশের অংক ভাবে।কিন্তু দেখেছ, ঐ অংকে এই শব্দ থাকলেও আমাদের বের করতে হবে সাজানো বা বিন্যাস সংখ্যা।
এটা কেমন করে বোঝা যায় বলতো?
বোঝা যায়,কারণ ওখানে চেয়েছে শব্দের সংখা।
আর শব্দ মানে বর্ণের সমাবেশ বা দল গঠন না।বর্ণ উল্টে পাল্টে সবরকম ভাবে গঠিত শব্দ সংখা বের করতে হবে,অর্থাৎ বিন্যাস।]
.
#Rule-2:
n সংখ্যক বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তুকে যতবার ইচ্ছা ততবার নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা= n^r (n>r)
2. 0 থেকে 9 পর্যন্ত অংকগুলো যতবার খুশি ব্যবহার করে সিরাজগঞ্জ শহরে আট অংক বিশিষ্ট কতগুলো টেলিফোন সংযোগ দেয়া যাবে?
ক) 10^8
খ) 8^10
গ) 9^10
ঘ) 10^9
উত্তরঃ ক
অতএব, নির্ণয় বিন্যাস সংখ্যা =10^8 (n=10,r=8)
.
#RULE-3:
n সংখ্যক বস্তু থেকে p সংখ্যক একরকম,q সংখ্যক আরেকরকম এবং r সংখ্যক অপর একরকম এবংবাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন বস্তু নিয়ে
বিন্যাস সংখ্যা= n!/(p! q! r!)
3. Mississippi শব্দটির সবগুলো অক্ষর এক সাথে নিয়ে মোট কতগুলো বিন্যাস পাওয়া যাবে?
ক) 34660
খ) 34640
গ) 34650
ঘ) 16460
উত্তরঃ গ
সমাধানঃ শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর যার4টি s,4টি i ,2ই p এবং বাকিএকটি স্বতন্ত্র(M)।
সুতরাং নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা =11!/(4! 4! 2!) = 34650
#RULE-4:
যেকোনো বস্তু বা বর্ণের অবস্থান স্থির রেখে যদি
বিন্যাস সংখ্যা বের করতে বলা হয়,তবে এগুলো ছাড়া
বাকিগুলোকে বিন্যস্ত করলেই বিন্যাস সংখ্যা পাওয়া যাবে।
4: স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দটির বর্ণগুলোকে কয়ভাবে সাজানো যাবে?
ক) 80
খ) 70
গ) 40
ঘ) 60
উত্তরঃ ঘ
#সমাধানঃ
এখানে শব্দটিতে স্বরবর্ণ আছে মোট 3টি।এই তিনটি বাদে ব্যাঞ্জনবর্ণ আছে 5 টি।
2! দিয়ে ভাগ হবে,R আছে 2টি
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! =60
.
#RULE-5:
p সংখ্যক বস্তু এবং r সংখ্যক বস্তুর আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে যদি তাদের বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে বলা হয়,তবে p সংখ্যক এবং r সংখ্যক উভয় বস্তুদের নিজ স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করে গুন দিতে হবে।
5. স্বরবর্ণ এবং বাঞ্জনবর্নের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে Director শব্দটির অক্ষরগুলোকে
কয়ভাবে সাজানো যায়?
ক) 380
খ) 740
গ) 440
ঘ) 360
উত্তরঃ ঘ
শব্দটিতে স্বরবর্ণ 3টি এবং ব্যাঞ্জনবর্ণ 5টি(2টি R) স্বরবর্ণ গুলোকে নিজ স্থানে রেখে সাজানো যায় 3! ভাবে এবং ব্যাঞ্জনবর্ণ গুলোকে 5!/2! ভাবে।
সুতরাং নির্ণয় বিন্যাস সংখ্যা = 3!x(5!/2!) = 360
#Rule-06:
যদি কোনো একটি প্রক্রিয়া m বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং m প্রকারের কোনো এক প্রকারে তা সম্পন্ন করার পর, দ্বিতীয় এক প্রক্রিয়া n বিভিন্ন প্রকারে সম্পন্ন করা যায়, তবে সম্মিলিতভাবে প্রক্রিয়াটির বিন্যাস সংখ্যা হবে= m×n
6. শাহবাগ থেকে ফার্মগেটের ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে আর ফার্মগেট থেকে বনানী ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে।
ফার্মগেট হয়ে শাহবাগ থেকে বনানী যাবার কয়টি ভিন্ন রাস্তা আছে? #Rule-06:
ক) 30
খ) 40
গ) 12√
ঘ)18
m=3
n=4
নির্ণয় ভিন্ন রাস্তার সংখ্যা=3×4=12
7. মনে করো, ঢাকুরিয়া থেকে বগা পর্যন্ত 6 টি বিভিন্ন বাস রুট আছে । তুমি ঢাকুরিয়া থেকে বগা যে বাসে যাও, ফিরে আসার সময় তুমি অন্য বাসে ফিরে আস । তুমি ঢাকুরিয়া ও বগা যাতায়াত কত বিভিন্ন রকমে করতে পারো ?#Rule-06:
ক) 30√
খ) 40
গ) 12
ঘ)18
#সমাধানঃ
ঢাকুরিয়া থেকে বগা যাওয়ার জন্য 6 টি বিভিন্ন প্রকারের বাসরুট আছে । সুতরাং 6 প্রকারভাবে ঢাকুরিয়া থেকে বগা আসা যায় । আবার যে বাসে তুমি ঢাকুরিয়া থেকে বগায় আসো ফেরার সময় সেই বসে না ফিরে অন্য বাসে ফের ।
সুতরাং 5 প্রকারভাবে বগা থেকে ঢাকুরিয়ায় ফিরে যাওয়া যায় ।
অতএব ঢাকুরিয়া ও বগায় যাতায়াতের কাজ মোট 6×5=30 রকমভাবে করতে পারবে ।
8. ভ্রমণে বেরিয়ে তিনটি পরিবার একটি হোটেলে উপস্থিত হল । হোটেলে 5টি ফাঁকা ঘর আছে । কত বিভিন্ন উপায়ে পরিবার তিনটি একটি করে ঘর দখল করতে পারে ? #Rule-06:
ক) 60√
খ) 40
গ) 12
ঘ)18
#সমাধান : স্পটতই প্রথম পরিবার 5টি ফাঁকা ঘরের যেকোন একটি ঘর দখল করতে পারে । সুতরাং 5 রকম ভাবে প্রথম পরিবার ঘর দখল করতে পারে । দ্বিতীয় পরিবারের ক্ষেত্রে তখন 4টি ঘর ফাঁকা থাকে । তাই দ্বিতীয় পরিবার 4 রকম ভাবে ঘর দখল করতে পারে । অনুরূপে তৃতীয় পরিবারের ক্ষেত্রে 3টি ঘর পড়ে থাকে এবং তৃতীয় পরিবার 3 রকম ভাবে ঘর দখল করতে পারে । অতএব প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় পরিবার মিলিতভাবে 5×4×3=60 রকমভাবে ঘর দখল করতে পারে ।
#Rule -07ঃ
বৃত্তাকার বিন্যাসে একটি বস্তুর অবস্থানকে স্থির রেখে অবশিষ্ট ( n - 1) সংখ্যক বস্তুকে ( n - 1)! উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
9.কত রকমে 6 জন বালককে বৃত্তাকারে বিন্যস্ত করা যায় ? ( Rule-07)
ক)130
খ) 140
গ)120
ঘ) 150
উত্তরঃ গ
n=6
নির্ণয় বিন্যাস সংখ্যা =(6-1)!=5!
=120 উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
#Rule-08ঃ
ঘড়ির কাঁটা যেদিকে ঘরে সেদিকে ও তার বিপরীত দিকের বিন্যাস ভিন্ন ধরা হয়েছে। কিন্তু বিভিন্ন বর্ণের মুক্তোর মালা ঘুরিয়ে ধরলে ঘড়ির কাঁটার দিক ও তার বিপরীত দিক অভিন্ন হয়।
বিন্যস্ত সংখ্যা=1/2(n-1)!
9. 5 টি বিভিন্ন বর্ণের মুক্তোর সাহায্যে কত বিভিন্ন উপায়ে মালা গাঁথা যায় ? (#Rule-08)
ক) 12√
খ) 16
গ) 24
ঘ) 48
n=5
সুতরাং,নির্ণেয় বিন্যাস=1/2(5-1)!=4!/2=12
10. MONDAY শব্দটির সমস্ত অক্ষর নিয়ে কটি শব্দ গঠন করা যায় ? এদের মধ্যে কটি শব্দ M দিয়ে আরম্ভ হবে কিন্তু Y দিয়ে শেষ হবেনা ?[ Try yourself]
11. কোনো 2 জন বালিকা পাশাপাশি বসে কত বিভিন্ন রকমে 8 জন বালক ও 5 জন বালিকা এক সারিতে আসন গ্রহণ করতে পারে ?
ক) 5!×15120
খ) 8!×15120
গ) 7!×15120
ঘ) 15120.
উত্তরঃ খ
সমাধান : 2 জন বালিকা কখনো পাশাপাশি বসতে পারবেনা অর্থাৎ 2 জন বালকের মাঝে একজন বালিকা বসতে পারে। 8 জন বালকের মাঝে 7 টি স্থান আছে , আর বালকদের দুপাশে 2 টি স্থান আছে। তাহলে বালিকাদের বসার জন্য মোট 9 টি স্থান আছে। 5 জন বালিকা এই 9 টি স্থানে যেকোনো প্রকারে বসতে পারে। 5 জন বালিকা 9 টি স্থানে বসার বিন্যাস সংখ্যা হল
9P5=9!(9−5)!=9×8×7×6×5×4!4!=15120
আবার, 8 জন বালক নিজেদের মধ্যে 8! উপায়ে বসতে পারে।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!×15120.
12. ASSASSINATION শব্দটির অক্ষরগুলিকে
(i) কত বিভিন্ন রকমের বিন্যাস করা যায় ?
(ii) কতগুলি বিন্যাসে চারটি S একত্রে থাকবে না ?
(iii) কতগুলি বিন্যাসে স্বরবর্ণ গুলি সর্বদা একত্রে থাকবে ?
#সমাধান :
(i) ASSASSINATION শব্দের মধ্যে অক্ষর ও তাদের সংখ্যা নিচে দেওয়া হল :
অক্ষর A S I N T O মোট
সংখ্যা 3 4 2 2 1 1 13
সুতরাং শব্দগুলির অক্ষর নিয়ে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
=(13)!/(4!×3!×2!×2!×1!×1!)
=(13×12×11×10×9×8×7×6×5×4!)/
(4!×6×2×2)
=10810800
(ii) চারটি S কে একত্রে একটি অক্ষর ধরলে মোট অক্ষর সংখ্যা হয় 10 টি। অতএব সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হবে
(10)!/(3!×1!×2!×2!×1!×1!)=
(10×9×8×7×6×5×4×3!)/(3!×2×2)
=151200
অতএব,
চারটি S একত্রে থাকবেনা তার বিন্যাস সংখ্যা হল =(10810800 -151200 )=10659600
(iii) এখানে স্বরবর্ণ গুলি হল A - 3 , I - 2 , O - 1. অতএব মোট 6 টি স্বরবর্ণ আছে।
এখন স্বরবর্ণ গুলিকে মোট একটি অক্ষর ধরলে মোট অক্ষর সংখ্যা হয় 8 টি।
অতএব, মোট বিন্যাস সংখ্যা
= 8!/(4!×2!×1!)=(8×7×6×5×4!)/(4!×2)=840.
আবার, স্বরবর্ণ গুলি নিজেদের মধ্যে বিন্যাস করতে পারে।
স্বরবর্ণের মোট বিন্যাস= 6!/(3!×2!×1!)
=(6×5×4×3!)/(3!×2)=60.
অতএব, স্বরবর্ণ গুলি একত্রে থাকলে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 840×60=50400
13.বুয়েট সিভিল বিল্ডিং এর এক কর্নারে লিখা আছে একটি শব্দ "Wastage"। এই শব্দটির বর্ণগুলোকে কয়ভাবে সাজানো যাবে যেন প্রথমে এবং শেষে A
থাকে?
ক) 120
খ) 230
গ) 250
ঘ) 350
ক) উত্তরঃ 120
14 .10টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে5টি বর্ণ নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যাবে,যাতে প্রতি শব্দে কমপক্ষে একটি বর্ণের পুনরাবৃত্তি থাকে?
ক) 120
খ) 230
গ) 250
ঘ) 252√
15. AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
ক) 12
খ) 23
গ) 21
ঘ) 22
উত্তরঃগ
16. AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
ক) 2
খ) 3
গ) 5
ঘ) 4
উত্তরঃক
17. Science শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একএে রেখে সব কয়টি বর্ণকে সম্ভাব্য কত উপায়ে সাজানো যায় তার সংখ্যা -
ক) 60
খ) 120
গ) 180√
ঘ) 420
Science শব্দটিতে বর্ণ আছে =7
স্বরবর্ণ 3টি কে 1টি ধরলে বর্ণ সংখ্যা =5 (2টি c)
তখন বিন্যাস সংখ্যা = 5P2=5!/(5-2)!=60
স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা
=3P2=3!/(3-2)! [ 2টি e আছে ]
=3
অতএব, মোট বিন্যাস সংখ্যা=60×3=180
#Basic Formula of combination (সমাবেশের সূত্র)
সুত্র: nCr = n!/(n-r)!×r!
Or, C(n,r)=n!/(n-r)!×r!
C= combination
!=ফেকটোরিয়াল চিহ্ন =factorial sign
Number of combinations=n=এখানে n হচ্ছে কতজন মানুষ বা কতটি দল অংশ নিচ্ছে।
Taken way (Fixed)= taken time=r= কতো উপায়ে বেছে নিতে হবে।
0!=1
1!=2
2!=2×1=
3!=3×2×1=6(n=3)
n!=3!=6
#মনে রাখুন
(সহজে সমাবেশের অঙ্ক করার জন্য শট টেকনিক মনে রাখুন)।
১. হ্যান্ডশেক অথবা কোলাকুলির জন্য দুজন লোকের প্রয়োজন
২.এিভুজ গঠন /চতুর্ভুজ গঠন /খেলার জন্য দুটি দলের প্রয়োজন।
৩. কর্ণ তৈরীর জন্য দুটি বিন্দুর প্রয়োজন।
৪. Randomly pick (এলোমেলোভাবে বাছাই/ নির্বাচন )
৬. দল গঠন, দল নির্বাচন
৭. প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে
এ রকম কথা প্রশ্নে উল্লেখ থাকবে।
#Easy step math problems:
1. In how many ways can a coach choose three swimmers from among five swimmers?
#অনুবাদঃ পাঁচটি সাঁতারুদের মধ্যে একজন কোচ কতটি উপায়ে তিনটি সাঁতারু বেছে নিতে পারেন?
a) 15
b) 10 √
c) 20
d) 30
#বিস্তারিত সমাধানঃ
মোট সদস্য সংখ্যা = সাঁতারু সংখ্যা =n=6
কতো জন নির্বাচন = #বেছে নেওয়ার সংখ্যা= কতো উপায়ে বাছাই=3
আমরা জানি,
C(n,r),or nCr=5!/(5-3)!×3! =5!/2!×3!
= 5×4×3!/(2!×3!)=5×4/(2)=10(ans)
#Note: ভালো করে খেয়াল করেন কোন ক্যালকুলেটর লাগবে না, মুখে মুখে হিসাব রিটেন বা প্রিলিতে মেলাতে পারবেন।
2. বিপিএল/সিপিএল এ ৮ টি দল প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট কতটি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে?
a) 56
b) 30
c) 28 √
d) 88
#Where n=8 ; r=2
r=প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে=প্রত্যেক(1)+প্রত্যেক(1)=2= প্রতিটি খেলা খেলতে কমপক্ষে দুটি দল লাগে।
C(n,r)=n!/(n-r)!×r!=8!/(8-2)!×2!=8!/(4!×2!)
=8×7×6!(6!×2!)=8×7/(2)= 28(ans)
3. 10 members were present at a board meeting. Each member shook hands with all of the other members before the meeting. How many handshakes took place?
অনুবাদঃ বোর্ড সভায় ১০ জন সদস্য উপস্থিত ছিলেন। প্রতিটি সদস্য সভার আগে অন্য সকল সদস্যের সাথে হাত মিলিয়েছিলেন।সভায় কয়টি হ্যান্ডশেক হয়েছিল?
a)60
b)20
c) 80
d) 45 [ try yourself]
4. 4 জন লোক হ্যান্ডশেক করলে মোট কতটি হ্যান্ডশেক হবে?
a) 6
b)
4 c) 8
d) 6 [ try yourself]
#আগে নিজে চেষ্টা করেন, তারপর সমাধান দেখেন
4 জন লোক হ্যান্ডশেক করলে মোট কতটি হ্যান্ডশেক হবে?
#ব্যাখ্যা সহ সমাধান আগে বুঝুন:
ধরি, চার জন লোকের নাম a, b c d
হ্যান্ডশেক করার ধরণ হবে
a-b
a-c
a-d (অর্থাৎ a হ্যান্ডশেক করতে পারবে মোট তিনটি )
b-c,
b-d ( b হ্যান্ডশেক করতে পারবে মোট দুটি a এর সাথে হয়ে গেছে)
c-d (c হ্যান্ডশেক করতে পারবে একটি কারণ a এবং b এর সাথে আগেই হয়ে গেছে)
তাহলে মোট হ্যান্ডশেক হবে=3+2+1=6
nCr=4C2 = 4!/(4-2)×2! = (4×3×2×1)/2×2 =6
5. In how many ways can a group of 5 men and 2 women be made out of a total of 7 men and 3 women?
অনুবাদঃ মোট ৭ জন পুরুষ ও ৩ জন নারীকে নিয়ে কতগুলি উপায়ে ৫ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলার গ্রুপ তৈরি করা যায়?
A. 63 √
B. 90
C. 126
D. 156
Required number of ways (নির্ণয় বাছাই সংখ্যা)
= (7C5 x 3C2)=63
#Combination Midrange Problems (সমাবেশের মধ্যম ধাঁচের/ধাপের অঙ্ক)।
1. At a party, everyone shook hands with every body else. If there were 66 handshakes, how many people were at the party?
#অনুবাদঃ একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করায় মোট ৬৬ টি হ্যান্ডশেক হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?
a) 12√
b) 10
c) 15
d) 9
The number of persons=n
Total number of handshakes=n(n-1)/2
ATQ, n(n-1)/2=66
Or, n^2-n=132
Or, n^2-12n+11n-132=0
Or, n(n-12)+11(n-12)=0
or, (n-12)(n+11)=0
Therefore, n=12 ; negative value not allow
2. বিপিএল/আইপিএল এ ৮ টি দল প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে দুটি করে ম্যাচ খেললে মোট কতটি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে?
a) 12
b) 20
c) 28
d) 56√
n=8, r=প্রত্যেক+প্রত্যেক=2
Now,C(n,r)=n!/(n-r)!r!=8!(8-2)×2!=8!/(6!×2!)
=8×7×6!/(6!×2)=8×7/(2)=28
Therefore, মোট ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে=2×28=56
#Note:এখানে একটি দল একে অপরের সাথে ২টি করে ম্যাচ খেলবে(এজন্য ২ সবসময় অন্তর্ভুক্ত থাকবে)।
3.In a football league each team plays with every of the other teams twice. If the number of teams is 5 then what will be the total number of matches?
#অনুবাদঃ একটি ফুটবল লীগে প্রতিটি দল অন্যান্য দলের সাথে দু'বার খেলে। দলের সংখ্যা যদি 5 হয় তবে match এর মোট সংখ্যা কত হবে? (Same as 2)
a) 10
b) 20√
c) 15
d) 19
অতএব, মোট ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে=2×5C2=2×10=20
4. বিশ্বকাপ ফুটবলে কিছু দল অংশগ্রহণ করলো। গ্রুপ পর্বে প্রতিটি দল অন্য দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেলবে।গ্রুপ পর্বের খেলা শেষে দেখা যায় যে মোট ৯১টি খেলা হয়েছে তাহলে ঐ বিশ্বকাপে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছে?(#same as 1)
a) 7
b) 12
c) 14√
d) 13
The number of persons=n
Total number of handshakes=n(n-1)/2
ATQ, n(n-1)/2=81
Or, n^2-n=182
Or, n^2-14n+13n-182=0
Or, n(n-14)+13(n-14)=0
or, (n-14)(n+13)=0
Therefore, n=14 ; negative value not allow
5. A polygon 7 sides. How many diagonals can be formed?
#অনুবাদঃ একটি বহুভুজ 7 পক্ষ। কয়টি তির্যক গঠিত হতে পারে?
a) 7
b) 12
c) 14√
d) 13
n=7= বাহুর সংখ্যা ;
r= কর্ণ draw করতে কমপক্ষে দুটি বিন্দু লাগে=2
অতএব, নির্ণয় মোট কর্ণের সংখ্যা=7C2-7=14
6. একটি পঞ্চভুজের কতটি কর্ণ আছে?
a) 5√
b) 12
c) 14
d) 13
n=5= বাহুর সংখ্যা ;
r= কর্ণ draw করতে কমপক্ষে দুটি বিন্দু লাগে=2
অতএব, নির্ণয় মোট কর্ণের সংখ্যা =
{n!/(n-r)! r!}-n=5C2-5
={5!/(5-2)!2!}-5={5×4×3!/(3!×2!)}-5
=(5×4/2)-5
=10-5=5
7. How many diagonals does a 63-sided convex polygon have?
a. 3780
b.1890√
c.1850
d.3969
n=63= total side of convex polgon
r= কর্ণ draw করতে কমপক্ষে দুটি বিন্দু লাগে=2
Required number of diagonal =63C2-63
= {63!/(63-2)!2!}-63
={63×62×61!/(61!×2)}-63
=(63×62/2)-63
=(63×31/2)-63
=1953-63=1890
Combination hard level Problems (#সমাবেশের কঠিন ধাপের অঙ্ক পর্ব-০১)
1. A committee of 5 persons is to be formed from 6 men and 4 women. In how many ways can this be done when at least 2 women are included ?
#অনুবাদঃ ৬ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা নিয়ে ৫ জন ব্যক্তির একটি কমিটি গঠন করা হবে। কমপক্ষে ২ জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত হলে এটি কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?
a) 120
b) 108
c) 186√
d) 180
#সমাধানঃ
Total number of ways(মোট বাছাই সংখ্যা)
= 4C2×6C3(৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা, ৬ জন পুরুষ থেকে ৩ জন পুরুষ) +4C3×6C2(৩ জন মহিলা, ২ জন পুরুষ) +4C4×6C1(৪জন মহিলা, ১ জন পুরুষ)
= 6×20 + 4×15 + 1×6
= 120 + 60 + 6 =186
#Note: ভালো করে খেয়াল করেন এবং বিস্তারিত বুঝার জন্য ২ নং সমাধান দেখেন।
2. In a group of 6 boys and 4 girls, four children are to be selected. In how many different ways can they be selected such that at least one boy should be there?
#অনুবাদঃ ৬ ছেলে এবং ৪ মেয়েদের একটি গ্রুপে চারটি ছেলেমেয়ে বাছাই করতে হবে। কমপক্ষে একটি ছেলে থাকবে এমন কতগুলি বিভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে?
a) 120
b) 239
c) 218
d) 209√
#ধাপ-১ঃ ১ ছেলে এবং ৩ মেয়ে নিয়ে বাছাই সংখ্যা =6C1×4C3=6×4=24
#ধাপ-২ঃ ২ ছেলে এবং ২ মেয়ে নিয়ে বাছাই সংখ্যা =6C2×4C2=15×6=90
#ধাপ-৩ঃ ৩ ছেলে এবং ১ মেয়ে নিয়ে বাছাই সংখ্যা =6C3×4C1=20×4=80
#ধাপ-৪ঃ ৪ ছেলে এবং ০ মেয়ে নিয়ে বাছাই সংখ্যা =6C4×4C0=10×1=15
অতএব, মোট বাছাই সংখ্যা=24+90+80+15=209
3.In a party every person shakes hands with every other person. If there are 105 hands shakes, find the number of person in the party.
a) 10
b) 14
c) 15√
d) 19 (Try yourself)
Required Total handshakes=nC2=[r=2]
#Handshake করতে কমপক্ষে ২জন লোক প্রয়োজন
ATQ, nC2=105
Or, n(n-1)=210 (Try yourself- factor )
4.In how many ways a committee, consisting of 5 men and 6 women can be formed from 8 men and 10 women?
#অনুবাদঃ ৮ পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা থেকে ৫ পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা সমন্বয়ে একটি কমিটি কত উপায়ে গঠিত হতে পারে?
A. 266
B. 5040
C. 11760√
D. 86400
৮ জন পুরুষ থেকে ৫ জন পুরুষ ও ১০ জন মহিলা থেকে ৬জন মহিলা নিয়ে বাছাই সংখ্যা =8C5×10C6
={8!/(8-5)!5!}×{10!(10-6)!6!}
={8×7×6×5!/(3!×5!)}×{10×9×8×7×6!/(4!×6!)
=(8×7)×(10×3×7)=56×210=11760
#No calculator use. You can try next math.
5. একজন পরীক্ষার্থীকে ১২টি প্রশ্ন হতে ৬টি উত্তর করতে হবে।প্রথম ৫টির ঠিক ৪টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে ৬টি প্রশ্ন উত্তর করা যাবে?
A. 205
B. 140
C. 105√
D.100
#সমাধানঃ১ম ৫টি থেকে ৪টি নিতে হবে এবং পরের ৭টি থেকে নিতে হবে
অতএব, নির্ণয় বাছাই সংখ্যা =5C4×7C2=5×21=105
#Combination hard level Problems (#সমাবেশের কঠিন ধাপের অঙ্ক পর্ব-০২)(৩৫-৪০, BCS MCQ)
#যখন কিছু জিনিস একঃ n সংখ্যক বস্তুর মধ্যে pটি একই রকম জিনিস থাকলে এদের থেকে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা=(n-p)C((r-p)
#যখন কিছু জিনিস ভিন্নঃ n সংখ্যক বস্তুর মধ্যে pটি ভিন্ন রকম জিনিস থাকলে এদের থেকে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা=(n-p)Cr
1. ১২টি পুস্তক থেকে ৫টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?(36 BCs)
a) 125
b) 120√
c) 110
d)140
Where, n=12, r=5 এবং p=2
অতএব, নির্ণয় বাছাই সংখ্যা=12-2)C(5-2)=10C3
=10!/{(10-3)3!}=10×9×8×7!/(7!×3!)
=(10×9×8)/(3×2×1)=120
2. ১৪ জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে নিদিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?(35 BCS)
a) 225
b) 220
c) 210
d)286√
Where, p=1, n=14 এবং r=11
নির্ণয় বাছাই সংখ্যা= (n-p)C(r-p)=(14-1)C(11-1)
=13C10=13×12×11×10!/{(13-10)!10!}
=13×12×11/(3!)=13×12×11/(3×2×1)=286
3. 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষ মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপকমিটি গঠন করতে হবে যাতে নিদিষ্ট ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?(38 BCS)
a) 184
b) 120
c) 84√
d) 184
#সমাধানঃ
৪ মহিলা +6 পুরুষ, মোট সদস্য =10
যেহেতু নিদিষ্ট ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে সেহেতু অবশিষ্ট 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা হতে 3 সদস্যবিশিষ্ট উপকমিটি গঠন করা যায় =
(5+4)C3
=84
4. 10 টি জিনিসের মধ্যে 2টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?
(৩৭ তম বিসিএস প্রিলি)( see hand calculation)
a) 18
b) 230
c) 204
d) 182√
নির্ণয় বাছাই সংখ্যা=8C5+ 8C4 +8C3
=56+70+56=182
5.৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়? (৪০ তম বিবিএস)
a) 16 b) 10 c) 24 d) 20√
r=6÷2=3
অতএব,নির্ণয় বাছাই সংখ্যা=6C3=20
#Combination hard level Problems
(#সমাবেশের কঠিন ধাপের অঙ্ক পর্ব-০৩)
1.'Thesis' শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার ৪টি অক্ষর নিয়ে মোট সমাবেশ সংখ্যা কত?
a) 10
b) 12
c) 11√
d)15
Step-1: 5টি (1টি s সহ) থেকে 4টি নিয়ে বাছাই সংখ্যা =5C4=5
Step-2: দুটি s এবং বাকি 4 টি থেকে ২ টি অক্ষর নিয়ে বাছাই সংখ্যা =2C2×4C2=6
অতএব, মোট বাছাই সংখ্যা =5+6=11
2. 'Degree'' শব্দটির অক্ষরগুলো
থেকে যে কোন ৪টি অক্ষর প্রত্যেকবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?
a) 11
b) 12
c) 7√
d) 8
১ম ধাপে বাছাই সংখ্যা (১টি e, ৩টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে ৩টি ) =3C3×1C1=1
২য় ধাপে বাছাই সংখ্যা (২টি e, ৩টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে ২টি) =2C2×3C2=3
3য় ধাপে বাছাই সংখ্যা (৩টি e, ৩টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে ১টি) =3C3×3C1=3
অতএব, মোট বাছাই সংখ্যা =1+3+3=7
#যখন সমাবেশ শর্তহীনঃ n সংখ্যক জিনিস থেকে প্রতিবারে যে কোনা সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা =2^n-1
3. রুপালীর ৬ জন বন্ধু আছে। সে কত রকমে যে
কোন সংখ্যক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারে।
a) 61
b) 64
c) 87
d) 63√
৬ টি পর্যায়ে যেকোন বন্ধুকে নেয়া বা বাদ দেয়া যাবে।
যার সমাবেশ সংখ্যা =৬^৪
কিন্ত ১টি ক্ষেএে সব পর্যায়েই কাউকে নেয়া হয়নি। এ কারণে ১টি বাদ যাবে, কেননা এটা অবাস্তব।
অতএব, মোট সমাবেশসংখ্যা =৬^৪-১=৬৩
#Statistics (পরিসংখ্যান♦সম্ভাবনা) এর বেসিক ফরমুলা।
মেথ ইজি লেভেল( Easy Level) পর্ব-১ এবং
মেথ মিডিয়ায় লেভেল(Medium level)-০২
1.পরিসর = ( সর্বোচ্চ সংখ্যা – সর্বনিম্ন সংখ্যা ) + ১
2. শ্রেণীসংখ্যা=পরিসর/শ্রেণীব্যবধান
3.উপাত্ত সংখ্যা n যখন বিজোড় তখন মধ্যক =
(n+1)/2 তম পদ
4. উপাত্ত সংখ্যা n যখন জোড় তখন মধ্যক=
{(n)/2 তম পদ+(n/2+1 তম পদ)} /2
5. উপাত্তসমূহের কেন্দ্রের মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।
6.Average (গড়)=উপাত্তসমূহের সমষ্টি / উপাত্তসমূহের সংখ্যা
7. #বিন্যস্ত উপাত্তঃসংগৃহীত উপাত্ত মানের উর্ধ্বক্রমে বা অধ:ক্রমে সাজানো থাকলে তা বিন্যস্ত উপাত্ত।
উর্ধ্বক্রমে বিন্যস্ত উপাত্তঃ ১, ২, ৩,৪,৫, ৬
অধ:ক্রমে বিন্যস্ত উপাত্তঃ ৬,৫,৪,৩,২,১
#অবিন্যস্ত উপাত্তঃ সংগৃহীত উপাত্ত এলোমেলোভাবে থাকলে তা অবিন্যস্ত উপাত্ত।
উদাহরণঃ২, ১,৬,৪,৩,৫
8. কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
9. উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মান উপাত্তগুলোকে সমান দুইভাগে ভাগ করে সেই মানকে উপাত্তগুলোর মধ্যক বলা হয়।
1. 1, 4,2 5,6,7,3, উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন।
a) 8
b) 5
c) 4√
d) 6
উর্ধ্বক্রমে বিন্যস্ত উপাত্তঃ 1, 2, 3,4,5, 6,7
n=7 ( বিজোড়)
মধ্যক = (n+1)/2 তম পদ
=(7+1)/2=4 তম পদ=4
2. 12, 15, 16,17 ,19, 21, 22, 26, 29, 31 উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন।
a) 18
b) 25
c) 20 √
d) 26
n=10 ( জোড়)
মধ্যক={(n)/2 তম পদ+(n/2+1 তম পদ)} /2
={(10)/2 তম পদ+(10/2+1 তম পদ)} /2
=(5 তম পদ+6তম পদ)/2
=(19+21)/2=20
3.1, 4,2 5,6,7,3, 7,8, 9,6 উপাত্তগুলোর প্রচুরক নির্ণয় করুন।
a) 8,7
b) 4, 6
c) 5,7
d) 6,7√
উর্ধ্বক্রমে বিন্যস্ত উপাত্তঃ 1, 2, 3,4,5, 6,6,7,7, 8,9
প্রচুরক=6, 7
#মেথ মিডিয়ায় লেভেল(Medium level)-০২
10. সম্ভাব্যতা বা সম্ভাবনা(Probability)
=অনুকূল ফলাফল (Favourable outcomes) / মোট ফলাফল (Total outcomes)।
11 . দুইটা স্বাধীন ঘটনার একসাথে ঘটার সুত্র P( A U B ) = P(A) + P(B) -P(A intersect B)
12. 1 টি ছক্কা =6 points
১।একটি বাক্সে 8টি লাল, 4টি কালো ও 3টি সাদা বল আছে । 3টি বল দৈবভাবে নেয়া হল-
i. 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
a) 28/128
b) 28/65√
c) 28/68
d) 28/60
মোট বল = 8+4+3 = 15টি
Favorable outcomes (অনুকুল ফলাফল)=8C2×7C1=28
Total outcomes (মোট ফলাফল)=15C3=65
অতএব, সম্ভাবনা =28/65
ii. লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
a) 28/128
b) 28/65
c) 28/68
d) 6/13√
সম্ভাবনা =1-7C3/15C3=1-35/65=6/13
২. আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী -2020 সালের মে ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন।
i. ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
a) 5/7√
b) 2/ 7
c) 1/7
d) 3/7
১ সপ্তাহ= 7 দিন =total outcomes = মোট ফলাফল
অনুকূল ফলাফল= favorable outcomes =5
অতএব, সম্ভাবনা=5/7
ii. ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
a) 5/7
b) 2/ 7√
c) 1/7
d) 3/7
অতএব, সম্ভাবনা=1-5/7=2/7
৩. ১ প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে 1 টি তাস নিলে রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
অনুকূল ঘটনা=(রাজা-১)=4
মোট ফলাফল =52
সম্ভাবনা =4/52=1/13
a) 5/13
b) 2/ 13
c) 1/13√
d) 3/13
#পরিসংখ্যান (Hard level) অঙ্কঃ
একনজরে ছক্কা সম্পর্কিত তথ্য ও সমস্যাবলীসমূহ
1. একটি বার ছক্কা নিক্ষেপ করার পর মোট ফলাফল =6^1=6
2. দুটি বার ছক্কা নিক্ষেপ করার পর মোট ফলাফল =6^2=36
3. তিনটি বার ছক্কা নিক্ষেপ করার পর মোট ফলাফল =6^3=216
1. একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভবনা কত?
a) 1/3
b) 1/2 √
c) 2/3
d) 5/6
মোট ফলাফল=6টি
অনুকূল ফলাফল =(2,4,6)=3
অতএব,সম্ভবনা=3/6=1/2
2. একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে বিজড়ো সংখ্যা আসার সম্ভবনা কত?
a) 1/3
b) 1/2 √
c) 2/3
d) 5/6
3.একটি ছক্কা 2 বার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভবনা কত?
a) 1/3
b) 1/6 √
c) 2/3
d) 5/6
মোট ফলাফল=6^2টি=36টি
অনুকূল ফলাফল =(11,22,33,44,66)=6
অতএব,সম্ভবনা=6/36=1/6
4. একটি ছক্কা 3 বার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভবনা কত?
a) 1/3
b) 1/6 √
c) 2/3
d) 5/6
মোট ফলাফল=6^3টি=216টি
অনুকূল ফলাফল =(111,222,333,444,666)=6
অতএব,সম্ভবনা=6/216=1/6
5. এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে 2টি তাস নেয়া হল। তাস দুটি রাজা হবার সম্ভবনা কত?
a) 8/221
b) 3/221
c) 2/221√
d) 5/221
মোট ফলাফল=52C2=1326
অনুকূল ফলাফল =4C2=6
অতএব,সম্ভবনা=6/1326=1/221
6.এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে 1টি তাস নেয়া হল। তাস হরতন হবার সম্ভবনা কত?
a) 1/13
b) 3/13
c) 2/4
d) 1/4√
মোট ফলাফল=52C1=52
অনুকূল ফলাফল =13C1=13
অতএব,সম্ভবনা=13/52=1/4
Type Mistake, Apologise. মেগা পোস্ট ভুল হলে comment করবেন, correction করে দিবো।
✍✍✍
Anisur Rahman
